a)
$\Delta BDE$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính
$\to \widehat{BED}=90{}^\circ $
Xét $\Delta BED$ và $\Delta BAC$, ta có:
$\widehat{ABC}$ là góc chung
$\widehat{BED}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $
$\to \Delta BED\sim\Delta BAC\,\,\,\left( \,g\,.\,g\, \right)$
$\to \dfrac{BE}{BA}=\dfrac{BD}{BC}$
$\to BC.BE=BD.BA$
b)
$\Delta BFD$ nội tiếp $\left( O \right)$ có $BD$ là đường kính
$\to \widehat{BFD}=90{}^\circ $
$\to \widehat{BFC}=90{}^\circ $
Xét tứ giác $AFBC$, ta có:
$\widehat{BFC}=\widehat{BAC}=90{}^\circ $
Mà hai góc này cùng nhìn cạnh $BC$
Nên tứ giác $AFBC$ nội tiếp
c)
Vì $BC.BE=BD.BA\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BE}{BD}$
Xét $\Delta BAE$ và $\Delta BCD$, ta có:
$\widehat{ABC}$ là góc chung
$\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{BE}{BD}\,\,\,\left( \,cmt\, \right)$
$\to \Delta BAE\sim\Delta BCD\,\,\,\left( \,c\,.\,g\,.\,c\, \right)$
$\to \widehat{BAE}=\widehat{BCD}$ ( hai góc tương ứng )
Mà: $\begin{cases}\widehat{BAE}+\widehat{EAC}=90{}^\circ\\\widehat{BCD}+\widehat{FBC}=90{}^\circ\end{cases}$
Nên $\widehat{EAC}=\widehat{FBC}$
Mà $\widehat{FKA}=\widehat{FBC}$ ( vì $BFKE$ nội tiếp đường tròn $O$ )
$\to \widehat{EAC}=\widehat{FKA}$
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong
Vậy $FK\,\,||\,\,AC$
