Xét tứ giác $AMHN$ có:
$\widehat{A} = \widehat{M} = \widehat{N} = 90^o$
Do đó $AMHN$ là hình chữ nhật
Ta có: $MI\perp MN$
$\Rightarrow \widehat{IMN} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{IMH} + \widehat{NMH} = 90^o$
mà $\widehat{AMN} + \widehat{NMH} = \widehat{M} = 90^o$
nên $\widehat{AMN} = \widehat{IMH}$
Ta lại có: $\widehat{AMN} = \widehat{MAH}$ ($AMHN$ là hình chữ nhật)
$\widehat{MAH} = \widehat{MHI}$ (cùng phụ $\widehat{MHA}$)
$\Rightarrow \widehat{IMH} = \widehat{MHI}$
$\Rightarrow ΔIMH$ cân tại $I$
$\Rightarrow IM = IH$ $(1)$
Tương tự ta có:
$\widehat{NMH} + \widehat{IMH} = 90^o$
$\widehat{IMB} + \widehat{IMH} = \widehat{M} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{IMB} = \widehat{NMH}$
mà $\widehat{NMH} = \widehat{AHM}$
$\widehat{AHM} = \widehat{IBM}$ (cùng phụ $\widehat{IHM}$)
$\Rightarrow \widehat{IMB} = \widehat{IBM}$
$\Rightarrow ΔIBM$ cân tại $I$
$\Rightarrow IM = IB$ $(2)$
$(1)(2) \Rightarrow IM = IB = IH = \dfrac{1}{2}BH$
Chứng minh tương tự, ta được: $KN = KC = KH = \dfrac{1}{2}CH$
Do đó $MI + NK = \dfrac{1}{2}BH + \dfrac{1}{2}CH = \dfrac{1}{2}BC$
