`a)` $AM$ là trung tuyến $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>AM=BM=CM=1/ 2 BC`
`=>BC=2AM` và $∆MAC$ cân tại $M$
`=>\hat{MCA}=\hat{MAC}`
`=>\hat{BCA}=\hat{DAC}`
$\\$
$D$ thuộc tia đối $MA$ thỏa $DM=AM$ (gt)
`=>M` là trung điểm $DA$
`=>DA=2AM`
$\\$
`=>BC=DA=2AM`
$\\$
Xét $∆ABC$ và $∆CDA$ có:
`AC` là cạnh chung
`\hat{BCA}=\hat{DAC}` (c/m trên)
`BC=DA` (c/m trên)
`=>∆ABC=∆CDA` (c-g-c) (đpcm)
$\\$
`b)` Gọi $F$ là giao điểm của $EI$ và $AB$
$\quad ∆ABC=∆CDA$ (câu a)
`=>\hat{BAC}=\hat{DCA}=90°` (hai góc tương ứng)
`=>AC`$\perp DI$ tại $C$
Mà $AB\perp AC$
`=>AB`//$DI$
`=>BF`//$DI$
$\\$
Xét $∆AFI$ và $∆ICA$ có:
`\hat{FAI}=\hat{CIA}` (hai góc so le trong do $BF$//$DI$)
`AI` là cạnh chung
`\hat{FIA}=\hat{CAI}` (hai góc so le trong do $EI$//$AC$ gt)
`=>∆AFI=∆ICA` (g-c-g)
`=>AF=CI` (hai cạnh tương ứng)
Mà `CA=CI` (gt)
`=>AF=CA`
$\\$
Ta có:
`\hat{BAC}+\hat{CAF}=180°` (hai góc kề bù)
`=>\hat{CAF}=180°-\hat{BAC}=90°`
`\hat{EAF}+\hat{CAH}+\hat{CAF}=180°`
`=>\hat{EAF}+\hat{CAH}=180°-\hat{CAF}=90°`
$\\$
$∆ACH$ vuông tại $H$
`=>\hat{ACH}+\hat{CAH}=90°` (hai góc phụ nhau)
`=>\hat{EAF}=\hat{ACH}=\hat{BCA}`
$\\$
Vì $EI$//$AC$ (gt); $AC\perp BF$
`=>BF`$\perp EI$
`=>\hat{AFE}=90°`
$\\$
Xét $∆AFE$ và $∆CAB$ có:
`\hat{AFE}=\hat{CAB}=90°`
`AF=CA` (c/m trên)
`\hat{EAF}=\hat{BCA}` (c/m trên)
`=>∆AFE=∆CAB` (g-c-g)
`=>AE=CB` (hai cạnh tương ứng)
Vậy $AE=BC$ (đpcm)
