Đáp án:
a) Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật
b) ABC là tam giác vuông cân thì $ADME$ là hình vuông
c) $AM=5cm; S_{ABC}=24cm^2$
d) $S_{ABM}=12cm^2$
Giải thích các bước giải:
a) Xét tứ giác $ADME$ có:
$\widehat{BAC}=90^{0}$ (vì $\Delta ABC$ vuông tại A)
$\widehat{ADM}=90^{0}$ (vì $MD\perp AB$)
$\widehat{AEM}=90^{0}$ (vì $ME\perp AC$)
$\Rightarrow$ Tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết)
b) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có:
$BM=MC$ (gt)
$\Rightarrow AM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
$\Rightarrow AM=\dfrac{1}{2}BC$ (định lý)
$\Rightarrow AM=BM=MC$
Xét $\Delta MAB$ có: $AM=MB$ (cmt)
$\Rightarrow \Delta MAB$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)
mà MD là đường cao (vì $MD\perp AB$)
$\Rightarrow MD$ đồng thời là đường trung tuyến (tính chất)
$\Rightarrow AD=DB$
Xét $\Delta MAC$ có: $AM=MC$ (cmt)
$\Rightarrow MAC$ cân tại M (dấu hiệu nhận biết)
mà ME là đường cao (vì $ME\perp AC$)
$\Rightarrow ME$ đồng thời là đường trung tuyến (tính chất)
$\Rightarrow AE=EC$
Để tứ giác $ADME$ hình hình vuông
$\Rightarrow AD=AE$ (tính chất)
$\Rightarrow \dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}AE$
$\Rightarrow AB=AC$
$\Rightarrow \Delta ABC$ là tam giác vuông cân thì tứ giác ADME là hình vuông
c) Xét $\Delta ABC$ vuông tại A có:
$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ (định lý Pytago)
$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}$
$\Rightarrow BC=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10 (cm)$
Ta có: $AM=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}.10=5 (cm)$
$S_{ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.8.6=24 (cm^{2})$
d) Ta có: $AE=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}.6=3 (cm)$
Vì tứ giác $ADME$ là hình chữ nhật (cmt)
$\Rightarrow DM=AE$ (tính chất)
mà $AE=3cm (cmt)$
$\Rightarrow DM=3cm$
$S_{ABM}=\dfrac{1}{2}.AB.DM=\dfrac{1}{2}.8.3=12 (cm^{2})$
