a) Xét ΔABC cân tại A , có :
AC² = BC² - AB² ( pytago )
=> AC² = 5² - 4²
= 25 - 16
= 9
=> AC = 3 ( cm )
b) Xét ΔABE và ΔHBE , có :
`\hat{BAE}` = `\hat{BHE}`= $90^{o}$
`\hat{ABE}` = `\hat{EBH}` ( BE là tia phân giác )
BE chung
=> ΔABE = ΔHBE ( ch.gn )
c) Ta có BE là tia phân giác
=> `\hat{ABE}` = `\hat{EBH}` = $\frac{60^o}{2}$ = $30^{o}$
Xét ΔABE có :
`\hat{BAE} = $90^{o}$
`\hat{ABE} = $30^{o}$
=> `\hat{AEB}` = $60^{o}$
Chứng minh tương tự với ΔBEH
=> `\hat{BEH}`= $60^{o}$
Mà `\hat{AEB}` + `\hat{BEH}` + `\hat{KEH}` = $180^{o}$
=> `\hat{KEH}` = $60^{o}$
Mà BE || HK ( gt )
=> `\hat{EHK}` = `\hat{KEH}` = $60^{o}$ ( 2 góc đồng vị )
Tổng 3 góc = $180^{o}$ => `\hat{EKH}` = $60^{o}$
=> ΔEHK đều .
d) Xét ΔAEM và ΔHEC , có :
`\hat{MAE}`= `\hat{CHE}` = $90^{o}$
`\hat{AEM}` = `hat{HEC}` ( đối đỉnh )
AE = EH ( ΔABE = ΔEBH )
=> ΔAEM = ΔHEC ( cgv. gn )
=> AM = HC (1)
Mà AB = BH ( ΔABE = ΔEBH ) (2)
Từ (1) và (2) => BM = BC
=> ΔMBC cân tại B
Ta có : MH ⊥ BC ( gt )
CA ⊥ MB ( gt )
mà MH ∩ CA ∩ BH = { E }
=> BN là đường cao ( ⊥ MC )
=> BN là đường trung tuyến của ΔMBC
=> MN = NC ( đccm ).
