Ta có: $EFGH$ là hình vuông
$\Rightarrow BC//EF \, (\perp FG)$
Đặt $EF = FG = GH = HE = x \, (x>0)$
Ta được: $∆AEF \sim ∆HBE \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AE}{BH} = \dfrac{EF}{BE}$
$\Rightarrow AE.BE = BH.EF = 2x$
$∆AEF\sim ∆GFC \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{GC} = \dfrac{EF}{CF}$
$\Rightarrow AF.CF = EF.FG = x^2$
Áp dụng Pytago ta được:
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$\Leftrightarrow (AE+BE)^2 + (AF+CF)^2 = (BH+HG+GC)^2$
$\Leftrightarrow AE^2 + 2AE.BE + BE^2 + AF^2 + 2.AF.CF + CF^2 = (2 + HG + 8)^2$
$\Leftrightarrow (AE^2 + AF)^2 + BE^2 + CF^2 + 2AE.BE + 2AF.CF = (10 + HG)^2$
$\Leftrightarrow EF^2 + (BH^2 + HE^2) + (GC^2 + FG^2) + 2AE.BE + 2AF.CF = 100+ 20HG + HG^2$
$\Rightarrow x^2 + 2^2 + x^2 + 8^2 + x^2 + 4x + 2x^2 = 100 + 20x + x^2$
$\Leftrightarrow 4x^2 - 16x - 32 = 0$
$\Leftrightarrow x^2 - 4x - 8 = 0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 2 - 2\sqrt{3} < 0 \, (loại)\\x = 2 + 2\sqrt{3} > 0 \, (nhận)\end{array}\right.$
Vậy độ dài cạnh hình vuông là $2 + 2\sqrt{3} \, cm$
