a, Xét ΔABC và ΔHBA ,có :
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}=90^0\)
\(\widehat{B}:\) góc chung
⇒ ΔABC ∼ ΔHBA (gg) (1)
Xét ΔHAC và ΔABC,có :
\(\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^0\)
\(\widehat{C}:\) góc chung
⇒ ΔHAC ∼ ΔABC (gg) (2)
\(\Rightarrow\dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\)
\(\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)
b, Từ (1)(2) ⇒ ΔHBA ∼ ΔHAC
\(\Rightarrow\dfrac{BH}{AH}=\dfrac{AH}{CH}\)
\(\Rightarrow AH.AH=BH.CH\)
hay \(AH^2=BH.CH\)
c,
Ta có HD vuông góc với AC
AB vuông góc với AC
⇒ HD//AB
⇒ HN//BM và ND//MA (vì N thuộc HD, M thuộc AB)
Xét Δ CBM có HN//BM (gt)
⇒ Δ CNH ~ ΔCMB ( định lý)
⇒ $\frac{CN}{CM}$= $\frac{NH}{BM}$ (đpcm) (1)
Xét Δ CAM có ND//AM
⇒ ΔCND ~ ΔCMA (định lý)
⇒ $\frac{CN}{CM}$=$\frac{ND}{MA}$ (2)
Từ 1 và 2 ⇒ $\frac{CN}{CM}$= $\frac{NH}{BM}$ =$\frac{ND}{MA}$
Mà ta có AM = MB ( M là trung điểm của AB)
⇒ NH = ND (đpcm)
