a) Xét $ΔABD$ và $ΔEBD$:
$\widehat{ABD}=\widehat{EBD}$ ($BD$ là đường phân giác $\widehat{B}$)
$BD:chung$
$\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o$
$→ΔABD=ΔEBD(CH-GN)$
b) $ΔABD=ΔEBD$
$→BA=BE$ (2 cạnh tương ứng)
$→ΔBAE$ cân tại $B$
mà $BD$ là đường phân giác $\widehat{B}$
$→BD$ là trung trực $AE$ (tính chất các đường đồng quy Δ cân)
c) $ΔABD=ΔEBD$
$→AD=ED$ (2 cạnh tương ứng)
Xét $ΔEDC$ vuông tại $E$:
$ED<DC(CGV<CH)$
mà $AD=ED$
$→AD<DC$
d) Xét $ΔADF$ và $ΔEDC$:
$AD=ED(cmt)$
$\widehat{DAF}=\widehat{DEC}=90^o$
$AF=EC(gt)$
$→ΔADF=ΔEDC(c-g-c)$
$→\widehat{ADF}=\widehat{EDC}$ (2 cạnh tương ứng)
mà 2 góc ở vị trí đối đỉnh
$→DF,DE$ là hai đoạn thẳng đối nhau
$→E,D,F$ thẳng hàng
Xét $ΔBFC$:
$CA,FE$ là đường cao của $BF,BC$
mà $CA$ cắt $FE$ tại $D$
$→BD$ là đường cao $FC$
$→BD⊥FC$
e) Giả sử: $BD$ cắt $FC$ tại $K$
Xét $ΔBFC$:
$BD$ vùa là đường phân giác $\widehat{B}$, vừa là đường cao $FC$
$→ΔBFC$ cân tại $B$
mà $BD$ là đường phân giác $\widehat{B}$
$→BD$ hay $BG$ là đường trung trực $FC$
$→FK=\dfrac{1}{2}FC$
Xét $ΔADF$: $AD+AF>DF$ (BĐTΔ)
Xét $ΔFDK$ vuông tại $K$: $DF>FK(CH>CGV)$
Từ hai điều trên
$→AD+AF>FK$
$→2(AD+AF)>2FK$
$→2(AD+AF)>CF$
$→$ ĐPCM
