`a)` Ta có:
`\hat{MDC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
`=>\hat{BDC}=90°`
$∆ABC$ vuông tại $A$
`=>\hat{BAC}=90°`
`=>\hat{BDC}+\hat{BAC}=180°`
`=>`Tứ giác $ABCD$ nội tiếp (đpcm)
`=>\hat{ADB}=\hat{ACB}` $(1)$ (cùng chắn cung $AB$)
Tứ giác $CDMK$ nội tiếp $(O)$
`=>\hat{MCK}=\hat{MDK}` (cùng chắn cung $MK$)
`=>\hat{ACB}=\hat{BDK}` $(2)$
Từ `(1);(2)=>\hat{ADB}=\hat{BDK}`
`=>DB` là phân giác của `\hat{ADK}` (đpcm)
$\\$
`b)` Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$
`\hat{BAC}=90°`
`=>AC`$\perp BA$
`=>AC`$\perp BH$
`\hat{MDC}=90°` (đã c/m)
`=>MD`$\perp DC$
`=>BD`$\perp HC$
`=>AC` và $BD$ là hai đường cao của $∆BCH$
Mà $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $M$
`=>M` là trực tâm $∆BCH$
`=>HM`$\perp BC$ $(4)$
Ta có: `\hat{MKC}=90°` (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(O)$)
`=>MK`$\perp KC$
`=>MK`$\perp BC$ $(4)$
Từ `(3);(4)=>H;M;K` thẳng hàng
`=>AB;KM;CD` đồng quy tại điểm $H$ (đpcm)
$\\$
`c)` $DB$ là phân giác của `\hat{ADK}` (câu a)
`=>DM` là phân giác của `\hat{ADE}`
`=>{AM}/{EM}={DA}/{DE}` $(5)$
Vì `MD`$\perp DC$ (đã c/m)
`=>DC` là phân giác ngoài của `\hat{ADE}` (phân giác trong và ngoài của một góc thì vuông góc với nhau)
`=>{AC}/{CE}={DA}/{DE}` $(6)$
Từ `(5);(6)=>{AM}/{EM}={AC}/{CE}`
`=>AM.CE=AC.EM` (đpcm)
