Giải thích các bước giải:
a) Gọi $I$ là giao điểm của $DN$ và $AC$
Ta có:
$D,N$ đối xứng nhau qua $AC$
$\to AC$ là trung trực của $DN$
$\to DN\bot AC$
Lại có: $AC\bot AB\to DN//AB$
$\to DI//AB$.
Mà $D$ là trung điểm của $BC$
$\to DI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$\to I$ là trung điểm của $AC$
Ta có:
Tứ giác $ANCD$ có 2 đường chéo $AC,DN$ giao nhau tại $I$ là trung điểm mỗi đường.
$\to ANCD$ là hình bình hành.
Mà $DN\bot AC$
$\to ANCD$ là hình thoi.
b) Ta có:
$DI$ là đường trung bình của tam giác $ABC$
$ \Rightarrow DI = \dfrac{1}{2}AB \Rightarrow AB = 2DI = DN$ (Do $I$ là trung điểm của $DN$)
Xét tứ giác $ABDN$ có:
$AB//DN;AB=DN$
$\to ABDN$ là hình bình hành.
c) Ta có;
$DN//AB\to DN//MB\to BDNM$ là hình thang.
Lại có:
$\Delta CAM;\Delta CAB$ có:
$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
CAchung\\
\widehat {CAM} = \widehat {CAB} = {90^0}\\
AM = AB
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \Delta CAM = \Delta CAB\left( {c.g.c} \right)\\
\Rightarrow \widehat {CMA} = \widehat {CBA}\\
\Rightarrow \widehat {NMB} = \widehat {DBM}
\end{array}$
Nên $BDNM$ là hình thang cân.
d) Ta có:
$DN//AM;DN=AM(=AB)$
$\to AMND$ là hình bình hành.
$\to AN,DM$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.
$\to DM$ đi qua trung điểm của $AN$
