a) Chứng minh AEBM là hình thoi.
Xét tam giác ABC ta có:
D và M lần lượt là trung điểm của AB và BC
=> DM là đường trung bình của tam giác ABC.
=> DM // DC và DM = 1/2 AC (tính chất đường trung bình).
Mà AC vuông góc AB (gt)
=> DM vuông góc với AB (từ song song đến vuông góc).
Ta có E là điểm đối xứng M qua D
=> D là trung điểm của EM. (tính chất)
Xét tứ giác AEBM ta có:
AB và EM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (gt và cmt)
AB vuông góc EM (cmt)
=> AEDM là hình thoi. (dhnb)
b) Chứng minh E, I, C thẳng hàng.
Ta có: D là trung điểm của EM (cmt)
=> EM = 2DM = AC.
Lại có DM // AC => EM // AC
=> AEMC là hình bình hành (dhnb).
=> EC và AM cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Lại có I là trung điểm của AM
=> I là trung điểm của EC
Hay I, E, C thẳng hàng. (đpcm).
c) Điều kiện của tam giác ABC để AEBM là hình vuông?
Hình thoi AEBM là hình vuông <=> AB = EM
Mà EM = AC (cm b))
=> AB = AC
=> Tam giác ABC vuông cân tại A.
