a) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$
$\Rightarrow MA = MB = MC$
$\Rightarrow ΔMAB; \, ΔMAC$ cân tại $M$
Xét $ΔBPM$ và $ΔAPM$ có:
$\widehat{B} = \widehat{A} = 90^o$
$MB = MA$
$MP:$ cạnh chung
Do đó $ΔBPM=ΔAPM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
$\Rightarrow PB = PA$
mà $MB = MA$
$\Rightarrow MP$ là trung trực của $AB$
$\Rightarrow MP\perp AB$
$\Rightarrow \widehat{MPA} = \widehat{BAM}$ (cùng phụ $\widehat{PAB}$)
mà $\widehat{BAM} = \widehat{MBA}$ ($ΔMAB$ cân tại $M$)
nên $\widehat{MPA} = \widehat{MBA}$
Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{MQA} = \widehat{MCA}$
Ta lại có: $\widehat{MBA} + \widehat{MCA} = 180^o - \widehat{BAC} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{MPA} + \widehat{MQA} = 90^o$
$\Rightarrow \widehat{PMQ} = 90^o$
$\Rightarrow ΔPMQ$ vuông tại $M$
b) Xét $ΔBPM$ và $ΔCMQ$ có:
$\widehat{B} = \widehat{C} = 90^o$
$\widehat{BMP} = \widehat{CQM}$ (cùng phụ $\widehat{CMQ}$)
Do đó $ΔBPM\sim ΔCMQ \, (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{BP}{CM} = \dfrac{BM}{CQ}$
$\Rightarrow BP.CQ = BM.CM = \dfrac{BC}{2}.\dfrac{BC}{2} = \dfrac{BC^2}{4}$
$\Rightarrow 4BP.CQ = BC^2$
c) Xét $ΔPQM$ và $ΔBCA$ có:
$\widehat{A} = \widehat{M} = 90^o$
$\widehat{QPM} = \widehat{ABC}$ (chứng minh ở câu a)
Do đó $ΔPQM\sim ΔBCA \, (g.g)$
