Lời giải:
Xét $\triangle ABD$ có:
$AH\perp BD\quad (AH\perp BC)$
$HB = HD = \dfrac12BD\quad (gt)$
Do đó $\triangle ABD$ cân tại $A$
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{ABD} = \widehat{ADB}\\\text{AH là phân giác của $\widehat{BAD}$}\end{cases}$
$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{ABH} = \widehat{ADH}\qquad (1)\\\widehat{HAD} = \widehat{HAB}\end{cases}$
Ta có:
$\widehat{DEC} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{DEA} = 90^\circ$ (góc kề bù tương ứng)
$\Rightarrow \widehat{DEA} + \widehat{DHA} = 180^\circ$
$\Rightarrow AEDH$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADH} = \widehat{AEH}\qquad (2)$
Bên cạnh đó:
$\widehat{ABH} = \widehat{HAE}$ (cùng phụ $\widehat{HAB}$) $(3)$
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{HAE} = \widehat{AEH}$
$\Rightarrow \triangle HAE$ cân tại $H$
$\Rightarrow HA = HE$
Ta có:
$OE = OD = R$
$\Rightarrow \triangle OED$ cân tại $O$
$\Rightarrow \widehat{OED} = \widehat{ODE}$
Ta lại có:
$\widehat{OEC} = 90^\circ\quad (cmt)$
$\Rightarrow OE\perp EC$
hay $OE\perp AC$
$\Rightarrow OE//AB\quad (\perp AC)$
$\Rightarrow \widehat{ODE} = \widehat{ABH}$ (đồng vị)
Do đó: \widehat{OED} = \widehat{ABH}$
$\Rightarrow \widehat{OED} = \widehat{HAC}$
Mặt khác:
$\widehat{DEH} = \widehat{DAH}$ ($AEDH$ nội tiếp)
$\widehat{DAH} = \widehat{HAB}\quad (cmt)$
Do đó: $\widehat{DEH} = \widehat{HAB}$
Ta được:
$\widehat{OEH} = \widehat{OED} + \widehat{DEH}$
$\Leftrightarrow \widehat{OEH} = \widehat{HAC} + \widehat{HAB}$
$\Leftrightarrow \widehat{OEH} = \widehat{BAC}$
$\Leftrightarrow \widehat{OEH} = 90^\circ$
