Đáp án:
\[q = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \]
Giải thích các bước giải:
Gọi độ dài cạnh BC là \(x\left( {x > 0} \right)\).
Độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có công bội q. Nên độ dài trung tuyến AM và độ dài cạnh AB lần lượt là \(x.q;\,\,\,x.{q^2}\)
Tam giác ABC cân tại A nên ta có:
\(\begin{array}{l}
A{M^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} = A{B^2}\\
\Leftrightarrow {\left( {xq} \right)^2} + \frac{{{x^2}}}{4} = {\left( {x{q^2}} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2}{q^2} + {x^2} = 4.{x^2}{q^4}\\
\Leftrightarrow 4{q^4} - 4{q^2} - 1 = 0\,\,\,\,\,\,\left( {x > 0 \Rightarrow {x^2} \ne 0} \right)\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{q^2} = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\\
{q^2} = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\left( L \right)
\end{array} \right. \Rightarrow q = \sqrt {\frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}} \,\,\,\left( {q > 0} \right)
\end{array}\)
