Giải thích các bước giải:
a.Ta có $NI,PK$ là trung tuyến $\Delta MNP$
$NI\cap PK=G\to G$ là trọng tâm $\Delta MNP$
$\to GI=\dfrac13GN, GK=\dfrac13GP$
Mà $E,F$ là trung điểm $GN,GP$
$\to GE=\dfrac12GN=\dfrac12\cdot\dfrac23NI=\dfrac13NI$
$\to GE=GI\to G$ là trung điểm $EI$
Tương tự $G$ là trung điểm $KF\to KIEF$ là hình bình hành
b.Để $KIFE$ là hình chữ nhật
$\to KF=EI$
$\to 2GK=2GI$
$\to GK=GI$
$\to 3GK=3GI$
$\to PK=NI$
$\to \Delta MNP$ cân tại $M$
c. Nếu $\Delta MNP$ cân tại $M$
Gọi $MG\cap NP=H\to H$ là trung điểm $NP$ vì $G$ là trọng tâm $\Delta MNP$
$\to HP=HN=\dfrac12NP=4$
Mặt khác $MH\perp NP$
$\to MH=\sqrt{MN^2-NH^2}=3$
$\to S_{MNP}=\dfrac12\cdot MH\cdot NP$
$\to S_{MNP}=\dfrac12\cdot 3\cdot 8$
$\to S_{MNP}=12$
$\to \dfrac{S_{GNP}}{S_{MNP}}=\dfrac{GH}{MH}=\dfrac13$
$\to S_{GNP}=\dfrac13S_{MNP}=4$
Vì $E,F$ là trung điểm $NP\to EF$ là đường trung bình $\Delta GNP$
$\to EF//NP, EF=\dfrac12NP$
$\to\widehat{GEF}=\widehat{GNP},\widehat{GFE}=\widehat{GPN}$
$\to\Delta GEF\sim\Delta GNP(g.g)$
$\to \dfrac{S_{GEF}}{S_{GNP}}=(\dfrac{EF}{NP})^2$
$\to \dfrac{S_{GEF}}{S_{GNP}}=\dfrac14$
$\to S_{GEF}=\dfrac14S_{GNP}=1$
Vì $KIFE$ là hình bình hành
$\to S_{KIFE}=4S_{GEF}=4$
