a) Ta có:
$NP^2 = 225$
$MP^2 = 81$
$MN^2 = 144$
$\Rightarrow NP^2 = MN^2 + MP^2$
$\Rightarrow ΔMNP$ vuông tại $M$ (Theo định lý Pytago đảo)
Ta cũng có:
$\sin N = \dfrac{MN}{NP} = \dfrac{12}{15} = \dfrac{4}{5}$
$\Rightarrow \widehat{N} \approx 53^o$
$\Rightarrow \widehat{P} = 90^o - \widehat{N} = 90^o - 53^o = 37^o$
b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:
$MP.MN = NP.MH = 2S_{MNP}$
$\Rightarrow MH = \dfrac{MP.MN}{NP} = \dfrac{12.9}{15} = \dfrac{36}{5}\, cm$
$MP^2 = HP.NP$
$\Rightarrow HP = \dfrac{MP^2}{NP} = \dfrac{9^2}{15} = \dfrac{27}{5}\, cm$
Ta có:
$O$ là trung điểm cạnh huyền $NP$
$\Rightarrow ON = \dfrac{1}{2}NP = \dfrac{15}{2}\, cm$
$\Rightarrow OH = ON - HP = \dfrac{15}{2} - \dfrac{27}{5} = \dfrac{21}{10}\, cm$
c) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:
$\dfrac{MQ}{QN} = \dfrac{MP}{NP}$
$\to \dfrac{MQ}{MN - MQ} = \dfrac{MP}{NP}$
$\to MQ.NP = MP.(MN - MQ)$
$\to MQ = \dfrac{MP.MN}{NP + MP} = \dfrac{9.12}{15 + 9} = \dfrac{9}{2}\, cm$
$\Rightarrow QN = MN - MQ = 12 - \dfrac{9}{2} = \dfrac{15}{2}\, cm$
