a) Xét `ΔMPQ` cân tại M có: `MQ = MP ; ∠P = ∠MQP`
Mà `∠MQP = ∠FQI` (2 góc đối đỉnh)
`=> ∠FQI = ∠P`
Xét `ΔEKP` và `ΔFIQ` có:
`∠EKP = ∠I = 90^o`
`∠FQI = ∠P`
PK = IQ (gt)
`=> ΔEKP = ΔFIQ` (cạnh góc vuông - góc nhọn kề)
`=> EK= FI` (2 cạnh tương ứng) (đpcm)
b) Gọi giao điểm của PQ và EF là G
Ta có: `EK ⊥ PQ`
`FI ⊥ PQ`
`=>` EK // FI (định lí)
`=> ∠GEK = ∠GFI` (2 góc so le trong)
Xét `ΔEGK` và `ΔGFI` có:
EK = FI (cmt)
`∠EKG = ∠I`
`∠GEK = ∠GFI` (cmt)
`=> ΔEGK = ΔFGI (g.c.g)`
`=> EG = FG` (2 cạnh tương ứng)
`=> G` là trung điểm của EF
`=> PQ` đi qua trung điểm của EF (đpcm)
c) Xét `ΔEGK` vuông tại K và `ΔFIG` vuông tại I có:
EG là cạnh huyền của `ΔEGK` và FG là cạnh huyền của `ΔFIG`
`=> EG > EK` và `FG > FI`
`=> EG + FG > EK + FI`
`=> EK + IF < EF` (đpcm)
