a, BE ⊥ AC (gt) ⇒ $\widehat{BEA}=\widehat{BEC}=90^o$
AD ⊥ BC (gt) ⇒ $\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=90^o$
CF ⊥ AB (gt) ⇒ $\widehat{CFA}=\widehat{CFB}=90^o$
Xét ΔAEB và ΔAFC có:
$\widehat{BEA}=\widehat{CFA}=90^o$
$\widehat{BAC}$: góc chung
⇒ ΔAEB ~ ΔAFC (g.g)
⇒ $\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ AE.AC = AF.AB
b, Xét ΔCEB và ΔCDA có:
$\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=90^o$
$\widehat{ACB}$: góc chung
⇒ ΔCEB ~ ΔCDA (g.g)
⇒ $\frac{CB}{CA}=\frac{CE}{CD}$ (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒ CD.CB = CA.CE
Mà AE.AC = AF.AB (cmt)
⇒ AF.AB + CD.CB = AE. AC + AC.CE = AC.(AE + CE) = AC.AC = AC²
c, AE.AC = AF.AB (cmt)
⇒ $\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$
Xét ΔAEF và ΔABC có:
$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$ (cmt)
$\widehat{BAC}$: góc chung
⇒ ΔAEF ~ ΔABC (c.g.c)
⇒ $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$
CD.CB = CA.CE (cmt)
⇒ $\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$
Xét ΔCDE và ΔCAB có:
$\frac{CD}{CA}=\frac{CE}{CB}$ (cmt)
$\widehat{ACB}$: góc chung
⇒ ΔCDE ~ ΔCAB (c.g.c)
⇒ $\widehat{CED}=\widehat{ABC}$
Mà $\widehat{AEF}=\widehat{ABC}$ (cmt)
⇒ $\widehat{CED}=\widehat{AEF}$
Có $\widehat{CED}+\widehat{DEB}=\widehat{CEB}=90^o$
$\widehat{AEF}+\widehat{FEB}=\widehat{AEB}=90^o$
⇒ $\widehat{DEB}=\widehat{FEB}$
⇒ EB là phân giác $\widehat{DEF}$
Hay EH là phân giác $\widehat{DEF}$
