a.
+ Xét $∆ABC$ có $BN$ và $CP$ là đường cao.
⇒$BN ⊥ AC$ tại $N$ ⇒$\overrightarrow{BNC} = 90°$
⇒$CP ⊥ AB$ tại $P$ ⇒$\overrightarrow{BPC} = 90°$
⇒Tứ giác $BCNP$ có hai đỉnh $N$ và $P$ cùng nhìn cạnh $BC$ dưới góc vuông nên $BCNP$ nội tiếp đường tròn $I$ đường kính $BC$.
⇒$IN = IP = \frac{BC}{2}$
⇒$∆INP$ cân tại $I$ $(1)$
+ Xét $∆ACP$ vuông tại $P$
⇒$\overrightarrow{CAP} = \overrightarrow{ACP} = 90°$ ( hai góc phụ nhau)
⇒$\overrightarrow{ACP} = 90° - \overrightarrow{CAP} = 90° - 60° = 30°$
+ Ta có: $\overrightarrow{NIP} = 2\overrightarrow{NCP}$ (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung $NP$).
⇒$\overrightarrow{NIP} = 2.30° = 60°$ $(2)$
+ Từ $(1)$ và $(2)$ ⇒ $∆NIP$ đều.
b.
+ $∆INP$ đều có $IA$ là phân giác của $\overrightarrow{NIP}$.
⇒$IA$ là đường trung trực của $NP$.
⇒$AN = AP$
⇒$∆ANP$ cân tại $A$.
+ Mà: $\overrightarrow{NAP} = 60°$ (gt).
⇒$∆ANP$ đều.
⇒$\overrightarrow{ANP} = 60°$.
+ Ta có: $90° = \overrightarrow{ANP} = \overrightarrow{ANP} + \overrightarrow{BNP}$
⇒$\overrightarrow{BNP} = 90° - \overrightarrow{ANP} = 90° - 60° = 30°$
+ Tứ giác $BCNP$ nội tiếp (câu a).
⇒$\overrightarrow{BCP} = \overrightarrow{BNP} = 30°$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $BP$).
+ Vậy: $\overrightarrow{BCP} = 30°$.
