`a)` Xét $∆ABE$ và $∆ACF$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AEB}=\hat{AFC}=90°`
`=>∆ABE∽∆ACF` (g-g)
`=>{AB}/{AC}={AE}/{AF}`
`=>AE.AC=AB.AF`
Nếu `AE.AC={AB^2}/2`
`=>AB.AF={AB^2}/2=AB.{AB}/2`
`=>AF={AB}/2`
(Cho nên đề không đầy đủ)
$\\$
`b)` Xét $∆BCF$ có $DM$//$BF$ (vì cùng $\perp CF$)
`=>{CD}/{CB}={CM}/{CF}` (định lý Talet)
Xét $∆BCE$ có $DK$//$BE$ (vì cùng $\perp AC$)
`=>{CD}/{CB}={CK}/{CE}` (định lý Talet)
`=>{CM}/{CF}={CK}/{CE}`
`=>MK`//$EF$ (định lý Talet đảo)
$\\$
`c)` Bổ sung $H$ là giao điểm của $3$ đường cao $∆ABC$
`\qquad S_{∆ABH}=1/ 2 BD.AH`
`\qquad S_{∆ABD}=1/ 2 BD.AD`
`\qquad S_{∆ACH}=1/ 2 .CD.AH`
`\qquad S_{∆ACD}=1/ 2 CD.AD`
`=>{AH}/{AD}={S_{∆ABH}}/{S_{∆ABD}}={S_{∆ACH}}/{S_{∆ACD}}`
`={S_{∆ABH}+S_{∆ACH}}/{S_{∆ABD}+S_{∆ACD}}={S_{∆ABH}+S_{∆ACH}}/{S_{∆ABC}}`
`\qquad `(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
$\\$
Tương tự chứng minh được:
`{BH}/{BE}={S_{∆ABH}+S_{∆BCH}}/{S_{∆ABC}}`
`{CH}/{CF}={S_{∆ACH}+S_{∆BCH}}/{S_{∆ABC}}`
$\\$
`=>{AH}/{AD}+{BH}/{BE}+{CH}/{CF}`
`={2(S_{∆ABH}+S_{∆BCH}+S_{∆ACH})}/{S_{∆ABC}}`
`={2S_{∆ABC}}/{S_{∆ABC}}=2`
Vậy `{AH}/{AD}+{BH}/{BE}+{CH}/{CF}=2`
