Đáp án đúng: C
Phương pháp giải:
Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác đã cho là \(x\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,\,\left( {0 < x < 13} \right).\)
Áp dụng định lý Pitago để lập phương trình, giải phương trình, đối chiếu với điều kiện của ẩn rồi kết luận.
Giải chi tiết:Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác đã cho là \(x\,\,\,\left( {cm} \right),\,\,\,\left( {0 < x < 13} \right).\)
Độ dài các cạnh góc vuông hơn kém nhau \(7cm \Rightarrow \) độ dài cạnh góc vuông lớn của tam giác là: \(x + 7\,\,\left( {cm} \right).\)
Áp dụng định lý Pitago ta có phương trình:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {\left( {x + 7} \right)^2} = {13^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} + {x^2} + 14x + 49 = 169\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 14x - 120 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + 7x - 60 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 12x - 60 = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) + 12\left( {x - 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x + 12} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 5 = 0\\x + 12 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 5\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 12\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác là \(5cm,\) độ dài cạnh góc vuông lớn của tam giác là: \(5 + 7 = 12cm.\)
Vậy diện tích tam giác đã cho là: \(S = \frac{1}{2}.5.12 = 30\,\,c{m^2}.\)
Chọn C.
