$\text{a) Có: AM là trung tuyến của BC (gt)}$
$\text{⇒ BM = CM}$
$\text{⇒ BM = CM = $\dfrac{BC}{2}$ = $\dfrac{12}{2}$ = 6 (cm)}$
$\text{Xét ΔABC vuông tại A có:}$
$\text{AM là đường trung tuyến (gt)}$
$\text{⇒ AM đồng thời là đường cao của ΔABC (tc Δ cân)}$
$\text{Xét ΔAMC vuông tại M (AM là đg cao) có:}$
$\text{$AC^{2}$ = $AM^{2}$ + $CM^{2}$ (đl Pytago)}$
$\text{⇒ $10^{2}$ = $AM^{2}$ + $6^{2}$}$
$\text{⇒ $AM^{2}$ = $10^{2}$ - $6^{2}$}$
$\text{⇒ $AM^{2}$ = 64}$
$\text{⇒ AM = 8 (cm)}$
$\text{b) Xét ΔABC có:}$
$\text{AM là đg trung tuyến (gt)}$
$\text{BI là đg trung tuyến (I là trung điểm AC)}$
$\text{AM ∩ BI tại G (gt)}$
$\text{⇒ G là trọng tâm ΔABC}$
$\text{⇒ AG = $\dfrac{2}{3}$AM}$
$\text{⇒ AG = $\dfrac{2}{3}$ . 8}$
$\text{⇒ AG = $\dfrac{16}{3}$ (cm)}$
$\text{c) Có: AM = AG + GM}$
$\text{⇒ GM = AM - AG}$
$\text{⇒ GM = 8 - $\dfrac{16}{3}$}$
$\text{⇒ GM = $\dfrac{8}{3}$ (cm)}$
$\text{Xét ΔGBM vuông tại M có:}$
$\text{$BG^{2}$ = $BM^{2}$ + $GM^{2}$ (đl Pytago)}$
$\text{⇒ $BG^{2}$ = $6^{2}$ + $(\dfrac{8}{3})^{2}$}$
$\text{⇒ $BG^{2}$ = $\dfrac{388}{9}$}$
$\text{⇒ $BG^{2}$ ≈ 6,6 (cm)}$
$\text{Có: G là trọng tâm ΔABC (cmt)}$
$\text{⇒ BG = $\dfrac{2}{3}$BI}$
$\text{⇒ BI = BG : $\dfrac{2}{3}$}$
$\text{⇒ BI = 6,6 : $\dfrac{2}{3}$}$
$\text{⇒ BI = 9,9 (cm)}$
$\text{⇒ 3BI = 3 . 9,9 = 29,7 (cm)}$
$\text{và: 4BM = 4 . 6 = 24 (cm)}$
$\text{Có: 29,7 cm > 24 cm}$
$\text{⇒ 3BI > 4BM}$
