`a)` Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AB$
`=>AH^2=AE.AB` (hệ thức lượng)
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HF\perp AC$
`=>AH^2=AF.AC` (hệ thức lượng)
`=>AE.AB=A F.AC`
`=>{AE}/{AF}={AC}/{AB}`
$\\$
Xét $∆AEF$ và $∆ACB$ có:
`\hat{A}` chung
`{AE}/{AF}={AC}/{AB}`
`=>∆AEF∽∆ACB` (c-g-c)
`=>\hat{AEF}=\hat{ACB}`
`=>BEFC` nội tiếp (vì có góc ngoài tại $1$ đỉnh bằng góc trong đỉnh đối diện)
$\\$
`b)` Vẽ tiếp tuyến `xy` tại $A$ của $(O)$
`=>xy`$\perp OA$ $(1)$
`\qquad \hat{xAB}=\hat{ACB}` (cùng chắn cung $AB$)
Mà `\hat{AEF}=\hat{ACB}` (câu a)
`=>\hat{xAB}=\hat{AEF}`
Vì `\hat{xAB};\hat{AEF}` ở vị trí so le trong
`=>xy`//$EF$ $(2)$
Từ `(1);(2)=>OA`$\perp EF$
$\\$
Vì `BEFC` nội tiếp (câu a)
`=>\hat{BEF}+\hat{FCB}=180°`
Mà `\hat{MEA}=\hat{BEF}` (hai góc đối đỉnh)
`=>\hat{MEA}+\hat{FCB}=180°`
`=>\hat{MEA}+\hat{ACB}=180°`
$\\$
`\qquad AMBC` nội tiếp $(O)$
`=>\hat{BMA}+\hat{ACB}=180°`
$\\$
`=>\hat{MEA}=\hat{BMA}`
$\\$
Xét $∆MEA$ và $∆BMA$ có:
`\hat{A}` chung
`\hat{MEA}=\hat{BMA}`
`=>∆MEA∽∆BMA` (g-g)
`=>{AM}/{AB}={AE}/{AM}`
`=>AM^2=AE.AB`
Mà $AH^2=AE.AB$ (câu a)
`=>AM^2=AH^2`
`=>AM=AH`
`=>∆AHM` cân tại $A$
