1. Xét hai trường hợp:
$\text {TH1:}$ $\widehat {xOy}$ `<` $\widehat {yOz}$
- Ta có tia `Oy` nằm giữa hai tia `Ox` và `Oz`
`=>` $\widehat {xOy}$ `+` $\widehat {yOz}$ = $\widehat {xOz}$
hay `m^o + n^o` = $\widehat {xOz}$
Mà tia `Om` là phân giác của $\widehat {xOz}$
`=>` $\widehat {xOm}$ = `(m^o + n^o)/2`
- Lại có `Om` là tia phân giác của $\widehat {xOz}$
`=>` $\widehat {xOm}$ = `\hat {xOz}/2` $\text {(1)}$
Mà $\widehat {xOy}$ `<` $\widehat {yOz}$
`=>`$\widehat {xOy}$ `<` `\hat {xOz}/2` $\text {(2)}$
Từ $\text {(1)}$ và $\text {(2)}$ `=>` $\widehat {xOy}$ `<` $\widehat {xOm}$ (với $\widehat {xOy}$ và $\widehat {xOm}$ cùng bờ)
`=>` Tia Oy nằm giữa hai tia Ox và Om
`=>` $\widehat {xOy}$ `+` $\widehat {yOm}$ = $\widehat {xOm}$
hay `m^o` + $\widehat {yOm}$ = `(m^o + n^o)/2`
$\widehat {yOm}$ `= (m^o + n^o)/2 - m^o = (m^o + n^o - 2m^o)/2 = (n^o - m^o - 2m^o)/2 = (n^o - m^o)/2`
$\text {TH2:}$ $\widehat {xOy}$ `>` $\widehat {yOz}$
- Ta có tia `Oy` nằm giữa hai tia `Ox` và `Oz`
`=>` $\widehat {xOy}$ `+` $\widehat {yOz}$ = $\widehat {xOz}$
hay `m^o + n^o` = $\widehat {xOz}$
Mà tia `Om` là phân giác của $\widehat {xOz}$
`=>` $\widehat {xOm}$ = `(m^o + n^o)/2`
- Lại có `Om` là tia phân giác của $\widehat {xOz}$
`=>` $\widehat {xOm}$ = `\hat {xOz}/2` $\text {(1)}$
Mà $\widehat {xOy}$ `>` $\widehat {yOz}$
`=>`$\widehat {xOy}$ `>` `\hat {xOz}/2` $\text {(2)}$
Từ $\text {(1)}$ và $\text {(2)}$ `=>` $\widehat {xOy}$ `>` $\widehat {xOm}$ (với $\widehat {xOy}$ và $\widehat {xOm}$ cùng bờ) `=>` $\widehat {xOm}$ `<` $\widehat {xOy}$
`=>` Tia `Om` nằm giữa hai tia `Ox` và `Oy`
`=>` $\widehat {xOm}$ `+` $\widehat {mOy}$ = $\widehat {xOy}$
hay `(m^o + n^o)/2` `+` $\widehat {mOy}$ = `m^o`
$\widehat {mOy}$ = `m^o - ((m^o + n^o))/2` = `(2m^o - m^o - n^o)/2 = (m^o - n^o)/2`
2. Xét theo cả hai TH1 và TH2:
- Ta có `Oy` nằm giữa hai tia `Ox` và `Oz`
Mà tia `Ot` là tia phân giác của $\widehat {xOy}$, `Ot'` là tia phân giác của $\widehat {yOz}$
`=>` `Ot` nằm trong $\widehat {xOy}$, `Ot'` nằm trong $\widehat {yOz}$
`=>` Tia `Oy` nằm giữa hai tia `Ot` và `Ot'`
`=>` $\widehat {tOy}$ + $\widehat {yOt'}$ = $\widehat {tOt'}$
hay `\hat {xOy}/2` + `\hat {yOz}/2` = $\widehat {tOt'}$
`=>` `(m^o)/2 + (n^o)/2` = $\widehat {tOt'}$
`=>` `(m^o + n^o)/2` = $\widehat {tOt'}$
Mà $\widehat {xOm}$ = `(m^o + n^o)/2` ($\text {theo câu 1}$)
`=>` $\widehat {tOt'}$ = $\widehat {xOm}$ `(=(m^o + n^o)/2)`
(Hình vẽ bạn xem trong ảnh ạ, nếu có gì sai mong bạn thông cảm)
