$T=\frac{2}{2^1}+$ $\frac{3}{2^2}+...+$ $\frac{2017}{2^{2016}}$ $⇒2T=2+\frac{3}{2}+...$ $+\frac{2017}{2^{2015}}$
$⇒2T-T=1+\frac{3}{2}+...-$ $\frac{2017}{2^{2016}}$
$⇒T=1+\frac{3}{2}+($ $\frac{1}{2^2}+...+$ $\frac{1}{2^{2015}})-$ $\frac{2017}{2^{2016}}$
Đặt: $D=\frac{1}{2^2}+$ $\frac{1}{2^3}+...+$ $\frac{1}{2^{2015}}$
$⇒\frac{1}{2}D=$ $\frac{1}{2^3}+...+$ $\frac{1}{2^{2016}}$
$⇒D-\frac{1}{2}D=$ $(\frac{1}{2^2}+...+$ $\frac{1}{2^{2015}})-($ $\frac{1}{2^3}+...+$ $\frac{1}{2^{2016}})$
$⇒\frac{1}{2}D=$ $\frac{1}{2^2}-$ $\frac{1}{2^{2016}}$
⇒$D=\frac{1}{2}-$ $\frac{1}{2^{2015}}$
Vậy $T=1+\frac{3}{2}+$ $\frac{1}{2}-$ $\frac{1}{2^{2015}}-$ $\frac{2017}{2^{2016}}$ =>$T=3-\frac{1}{2^{2015}}-$ $\frac{2017}{2^{2016}}$
