Cho một miếng tôn hình tròn tâm $O$, bán kính $R$. Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt $OAB$ và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh $O$ không có đáy ($OA$ trùng với $OB$). Gọi $S$ và $S'$ lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số $\frac{{S'}}{S}$ để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1} \right| = 2$. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 + i\sqrt 8 } \right)z + i$ là một đường tròn. Bán kính $r$ của đường tròn đó là
A.$9$
B.$36$
C.$6$
D.$3$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0$ vô nghiệm
A.$m \in \left( {\sqrt 2 ;2} \right)$
B.$m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
C.$m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)$
D.$m \in \left( { - 2;\sqrt 2 } \right)$

Cho hình phẳng giói hạn bởi các đường $y = \sqrt {\tan x} ;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox.$ Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.
A.$\frac{{\pi \ln 2}}{2}$
B.$\frac{{\pi \ln 3}}{4}$
C.$\frac{\pi }{4}$
D.$\pi \ln 2$

Trong mặt phẳng $Oxy,$ gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó điểm $G$ biểu diễn số phức là
A.$z =  - 1 - i$
B.$z =  - 1 - 2i$
C.$z = 1 - 2i$
D. $z = 2 - i$

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1$. Khi đó tổng ${x_1} + {x_2}$ bằng
A.$2 - {\log _5}2$
B.$- 2 + {\log _5}2$
C. $2 + {\log _5}2$
D.$2 - {\log _2}5$

Tập nghiệm của bất phương trình $\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0$ là
A.$S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]$
B.$S = \left[ {64; + \infty } \right)$
C.$S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)$
D.$S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]$

Cho $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3$ và $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx = 2.}$ Khi đó $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$ bằng
A.$1$
B.$- 1$
C.$5$
D.$6$

Phương trình $\log \left( {54 - {x^3}} \right) = 3\log x$ có nghiệm là
A.$x = 4$
B.$x = 3$
C.$x = 1$
D.$x = 2$

Cho số phức $z$ có phần thực là số nguyên và $z$ thỏa mãn $\left| z \right| - 2\overline z = - 7 + 3i + z$. Mô đun của số phức $w = 1 - z + {z^2}$ bằng
A.$\left| w \right| = \sqrt {445}$
B.$\left| w \right| = \sqrt {425}$
C.$\left| w \right| = \sqrt {37}$
D.$\left| w \right| = \sqrt {457}$