Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = AC = CD = DB = a,\,\,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), điểm \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Đường thẳng cắt mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) tại \(G\). Tính diện tích tam giác \(GAD\).A.\(

tranthiduyendaihop

2 năm trước

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = BC = AC = CD = DB = a,\,\,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), điểm \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BCD\). Đường thẳng cắt mặt phẳng \(\left( {MCD} \right)\) tại \(G\). Tính diện tích tam giác \(GAD\).
A.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\)
B.\(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{32}}\)
C.\(\dfrac{{3\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\)
D.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{{16}}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 35 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

tranthiduyendaihop

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Tam giác \(ACD\) có \(AC = CD = a,AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) nên \(A{E^2} = \dfrac{{A{C^2} + A{D^2}}}{2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\)
Tam giác \(BCD\) đều \( \Rightarrow BE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Tam giác \(ABE\) có \(EM\) là đường trung tuyến của tam giác \(AEB\) nên :
\(E{M^2} = \dfrac{{E{A^2} + E{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{7{a^2}}}{{16}}\)
Xét tam giác \(BME\) và bộ ba điểm \(A,G,O\) thẳng hàng có :
\(\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{OB}}{{OE}}.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}.2.\dfrac{{GE}}{{GM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{GE}}{{GM}} = 1\) hay \(G\) là trung điểm của \(ME\).
Xét tam giác \(ABD\) có \(DM\) là trung tuyến của \(\Delta ABD\) nên
\(D{M^2} = \dfrac{{D{A^2} + B{D^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{8}\).
Tam giác \(DME\) có trung tuyến \(DG\) nên
\(D{G^2} = \dfrac{{D{E^2} + D{M^2}}}{2} - \dfrac{{M{E^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{5{a^2}}}{8}}}{2} - \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\).
Lại có \(\cos \widehat {AEM} = \dfrac{{A{E^2} + E{M^2} - A{M^2}}}{{2AE.EM}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{16}} - \dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\)
\( \Rightarrow A{G^2} = A{E^2} + E{G^2} - 2AE.EG\cos \widehat {AEG}\)\( = \dfrac{{5{a^2}}}{8} + \dfrac{{7{a^2}}}{{64}} - 2.\sqrt {\dfrac{{5{a^2}}}{8}.\dfrac{{7{a^2}}}{{64}}} .\dfrac{{13}}{{2\sqrt {70} }}\)\( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Tam giác \(ADG\) có \(A{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}},A{D^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4},D{G^2} = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}}\)
Do đó \(\Delta GAD\) cân tại \(G\).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AD\) thì \(AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4},\)
\(G{H^2} = G{A^2} - A{H^2}\)\( = \dfrac{{21{a^2}}}{{64}} - \dfrac{{3{a^2}}}{{16}} = \dfrac{{9{a^2}}}{{64}}\)\( \Rightarrow GH = \dfrac{{3a}}{8}\)
Diện tích tam giác \({S_{GAD}} = \dfrac{1}{2}GH.AD\)\( = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{8}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt 3 }}{{32}}\)
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Đề kiểm tra một tiết môn toán của lớp \(12A\) có \(25\) câu trắc nghiệm, mỗi câu có phương án trả lời trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi câu một phương án. Tính xác suất để học sinh đó làm đúng đáp án \(15\) câu.
A.\(\dfrac{{15}}{{{4^{25}}}}\)
B.\(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{25}}}}\)
C.\(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{15}}}}{{{4^{25}}}}\)
D.\(\dfrac{{C_{25}^{15}{{.3}^{10}}}}{{{4^{20}}}}\)

Khai triển đa thức \(P\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}x} \right)^{10}} = {a_0} + {a_1}x + ... + {a_9}{x^9} + {a_{10}}{x^{10}}\). Tìm hệ số \({a_k}\,\,\left( {0 \le k \le 10;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\) lớn nhất trong khai triển trên.
A.\(\dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\)
B.\(1 + \dfrac{{{2^7}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^7\)
C.\(\dfrac{{{2^6}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^6\)
D.\(\dfrac{{{2^8}}}{{{3^{10}}}}C_{10}^8\)

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \({\cos ^2}x + \sqrt {\cos x + m} = m\).
A.\(m \in \left[ {0;3} \right]\).
B.\(m \in \left( {0;3} \right)\).
C.\(m \in \left( {0;3} \right]\).
D.\(m \in \left[ {0;3} \right)\).

Ban cán sự lớp trường THPT Kim Liên có học sinh nam và học sinh nữ. Nhân dịp kỉ niệm năm ngày thành lập trường, giáo viên chủ nhiệm lớp chọn ngẫu nhiên học sinh trong ban cán sự tới dự chương trình “ NĂM – SEN VÀNG HỘI NGỘ”. Tính xác suất để học sinh được chọn có cả nam và nữ.
A.\(\dfrac{{27}}{{75}}\)
B.\(\dfrac{{27}}{{57}}\)
C.\(\dfrac{{25}}{{57}}\)
D.\(\dfrac{{27}}{{55}}\)

Tính khối lượng riêng của khối trụ và nhiệt độ t2.
A.t2 = 38,2oC
B.t2 = 40,2oC
C.t2 = 41,5oC
D.t2 = 42oC

Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
A.\(4\) mặt phẳng.
B.\(1\) mặt phẳng.
C.\(2\) mặt phẳng.
D.\(3\) mặt phẳng.

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} - {x^2} + 1\) có bao nhiêu điểm cực trị ?
A.\(3.\)
B.\(2.\)
C.\(1.\)
D.\(4.\)

Tập nghiệm của phương trình \({3^{x + 1}} + {3^{ - x}} - 4 = 0\) là :
A.\(S = \left\{ {0;1} \right\}.\)
B.\(S = \left\{ { - 1;1} \right\}.\)
C.\(S = \left\{ {0; - 1} \right\}.\)
D.\(S = \left\{ {1;\dfrac{1}{3}} \right\}.\)

Tính giá trị của tổng \(T = C_{2019}^1 + C_{2019}^2 + C_{2019}^3 + ... + C_{2019}^{2018}\).
A.\(T = {2^{2019}}\)
B.\(T = {2^{2019}} - 2\)
C.\(T = {2^{2019}} - 1\)
D.\(T = {3^{2019}}\)

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow v \left( {3; - 2} \right)\) biến đường tròn \(\left( C \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2y = 0\) thành đường tròn \(\left( {C'} \right)\). Tìm tọa độ \(I'\) của đường tròn \(\left( {C'} \right)\).
A.\(I'\left( {3; - 3} \right)\)
B.\(I'\left( { - 3;1} \right)\)
C.\(I'\left( {3; - 1} \right)\)
D.\(I'\left( { - 3;3} \right)\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến