Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều và \(I\) là một điểm trong tứ diện. Gọi \(H\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\) Do \(ABCD\) là tứ diện đều nên \(AH\) là đường cao của tứ diện. Theo giả thiết và theo công thức tính thể tích của tứ diện ta có
\(\begin{array}{l}{V_{ABCD}} = {V_{IABC}} + {V_{IABD}} + {V_{IBCD}} + {V_{IACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right){S_{ABC}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right){S_{ABD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right){S_{BCD}} + \dfrac{1}{3}d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right){S_{ACD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}\left[ {d\left( {I,\left( {ABC} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ABD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {BCD} \right)} \right) + d\left( {I,\left( {ACD} \right)} \right)} \right]{S_{BCD}}.\end{array}\)
Mặt khác ta lại có \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}AH.{S_{BCD}}.\) Do đó tổng khoảng cách \(d = AH.\) Kéo theo \(d = AH = \sqrt {A{B^2} - B{H^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{a}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)
Chọn A.
