Xét $\Delta$ vuông $ ADP$ và $\Delta$ vuông $ ABN$ có:
$AD=AB$
$DP=BN(=\dfrac{1}{2}AB)$
$\Rightarrow \Delta$ vuông $ ADP=\Delta$ vuông $ ABN$ (2 cạnh góc vuông)
$\Rightarrow AP=AN\Rightarrow \Delta APN $ cân đỉnh $A$ (1) có:
$\widehat{PAO}=\widehat{DAC}-\widehat{DAP}$
$\widehat{NAO}=\widehat{BAC}-\widehat{BAN}$
Mà $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}$
$\widehat{DAP}=\widehat{BAN}$ (do $\Delta ADP=\Delta ABN$) cmt
$\Rightarrow \widehat{PAO}=\widehat{NAO}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $AO$ là trung tuyến của $\Delta APN$ (*)
Do $P$ là trung điểm của $DC$, $N$ là trung điểm của $BC$
$\Rightarrow PN$ là đường trung bình $\Delta BCD$
$\Rightarrow \dfrac{CI}{CO}=\dfrac{1}{2}$ ($I=PN\cap CO$)
$\Rightarrow \dfrac{OI}{CO}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{OI}{AO}=\dfrac{1}{2}$
$\Rightarrow \dfrac{AO}{AO+OI}=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3}$ (**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow O$ là trọng tâm $\Delta ANP$
Chứng minh tương tự $O$ cũng là trọng tâm $\Delta CMQ$
Do đó $\Delta ANP$ và $\Delta CMQ$ có cùng trọng tâm $O$ (đpcm).
