Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Hồi nãy mình có ghi là đề sai hoặc đề thiếu. Đó là đúng 100%. Tại vì có thể kiểm tra bằng máy tính với $x=0,6$ và $y=0,6$

Mình xin bổ sung thêm đề là $x+y\le 1$

$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$

$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$

Ta sẽ áp dụng 2 bất đẳng thức Cô – si để giải bài toán:

$\begin{cases}a^2+b^2\ge 2ab\\ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\end{cases}$

$\bullet \,\,\,\,\,xy\le \frac{{{\left( x+y \right)}^{2}}}{4}$

$\to \frac{1}{xy}\le \frac{4}{{{\left( x+y \right)}^{2}}}$

$\to \frac{1}{xy}\le 4$    ( Vì  $x+y\le 1$  )

$\to \frac{1}{2xy}\le 2\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,{{x}^{4}}+{{y}^{4}}\ge 2{{x}^{2}}{{y}^{2}}$

$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}$

$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}$

$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\,\,\,\,\,\left( 2 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Áp dụng Cô – si cho 3 số, ta sẽ được:

$\,\,\,\,\,\,16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3.\,\,\,\sqrt[3]{16{{x}^{2}}{{y}^{2}}.\frac{1}{4xy}.\frac{1}{4xy}}$

$\to 16{{x}^{2}}{{y}^{2}}+\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 3 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Từ $\left( 2 \right)$ và $\left( 3 \right)$, ta được kết quả:

$\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}\ge 3\,\,\,\,\,\left( 4 \right)$

$\bullet \,\,\,\,\,$Lấy $\left( 1 \right)+\left( 4 \right)$, cộng vế theo vế, ta được kết quả:

$\,\,\,\,\,\,8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\ge 3+2$

$\to 8\left( {{x}^{4}}+{{y}^{4}} \right)+\frac{1}{xy}\ge 5$

$\to {{x}^{4}}+{{y}^{4}}+\frac{1}{8xy}\ge \frac{5}{8}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi

$\begin{cases}x^4=y^4\\16x^2y^2=\frac{1}{4xy}\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$