Đáp án: $ MinA = \dfrac{81}{8} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$
Giải thích các bước giải:
Trong bài có áp dụng các $BĐT $ quen thuộc$: a² + b² ≥ \dfrac{1}{2}(a + b)² (1)$
$ (a + b)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}) ≥ (2\sqrt[]{ab})(2\sqrt[]{\dfrac{1}{a}.\dfrac{1}{b}}) = 4 ⇔ \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} ≥ \dfrac{4}{a + b} (2)$
Ta có $: A = (x² + \dfrac{1}{y})² + (y² + \dfrac{1}{x})² ≥ \dfrac{1}{2}[(x² + \dfrac{1}{y}) + (y² + \dfrac{1}{x})]²$ (theo $(1)$)
$ = \dfrac{1}{2}[(x² + y²)+ (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})]² ≥ \dfrac{1}{2}[\dfrac{1}{2}(x + y)²+ \dfrac{4}{x + y}]² (*)$ (Theo $(1); (2))$
Đặt $ t = x + y ⇒ 0 < t ≤ 1$ Ta có:
$ \dfrac{1}{2}(t - 1)² ≥ 0 ⇔ \dfrac{1}{2}t² - t ≥ - \dfrac{1}{2} (1)$.(Dấu $'=' ⇔ t = 1)$
$ t + \dfrac{1}{t} ≥ 2\sqrt[]{t.\dfrac{1}{t}} = 2 (2)$(Dấu $'=' ⇔ t = 1)$
$ 0 < t ≤ 1 ⇔ \dfrac{1}{t} ≥ 1 ⇔ \dfrac{3}{t} ≥ 3 (3)$. (Dấu $'=' ⇔ t = 1)$
$(1) + (2) + (3) $vế với vế :
$ (\dfrac{1}{2}t² - t) + (t + \dfrac{1}{t}) + \dfrac{3}{t} ≥ - \dfrac{1}{2} + 2 + 3$
$ ⇔ \dfrac{1}{2}t² + \dfrac{4}{t} ≥ \dfrac{9}{2}$ (Dấu $'=' ⇔ t = 1 ⇔ x = y = 1)$
$ ⇔ \dfrac{1}{2}(x + y)²+ \dfrac{4}{x + y} ≥ \dfrac{9}{2}$. Thay vào $(*)$
$ ⇒ A ≥ \dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{2})² = \dfrac{81}{8} ⇒ MinA = \dfrac{81}{8} ⇔ x = y = \dfrac{1}{2}$
