Giải thích các bước giải:
Ta có:
\[\begin{array}{l}
M = \left( {{x^2} + \frac{1}{{{y^2}}}} \right)\left( {{y^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = {x^2}{y^2} + 1 + 1 + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}}\\
= {x^2}{y^2} + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + 2
\end{array}\]
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\[\begin{array}{l}
1 = x + y \ge 2\sqrt {xy} \\
\Rightarrow \sqrt {xy} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow xy \le \frac{1}{4}\\
M = {x^2}{y^2} + \frac{1}{{{x^2}{y^2}}} + 2 = \left( {{x^2}{y^2} + \frac{1}{{256{x^2}{y^2}}}} \right) + \frac{{255}}{{256{x^2}{y^2}}} + 2\\
\ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}.\frac{1}{{256{x^2}{y^2}}}} + \frac{{255}}{{256.{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^2}}} + 2\\
\ge 2.\frac{1}{{16}} + \frac{{255}}{{16}} + 2 = \frac{{289}}{{16}}
\end{array}\]
Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi x=y=1/2
