a,
1. TXĐ: $\mathbb{R}$
2. Sự biến thiên của hàm số
$\lim\limits_{x\to \pm\infty}y=+\infty$
$y'=x^3-4x=x(x^2-4)$
$y'=0\to x=0; x=\pm 2$
Ta có BBT như hình
Từ BBT ta suy ra:
+ Hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty)$
+ Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;2)$
+ Hàm số đạt cực đại tại $x=0\to y_{CĐ}=\dfrac{-1}{2}$
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x=\pm2\to y_{CT}=\dfrac{-9}{2}$
3. Vẽ đồ thị
Đồ thị không có tiệm cận.
$y''=3x^2-4$
$y''=0\to x=\pm\dfrac{2}{\sqrt3}$
$\to$ Đồ thị hàm số có hai điểm uốn là $\Big(\pm\dfrac{2}{\sqrt3}; \dfrac{-49}{18}$
Đồ thị cắt Oy tại điểm $\Big(0;\dfrac{-1}{2}\Big)$
Nhận xét: đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng.
Ta có đồ thị như hình.
b,
Số nghiệm phương trình $\dfrac{1}{4}x^4-2x^2-\dfrac{1}{2}=m$ là số giao điểm của hai đồ thị:
+ $y=\dfrac{1}{4}x^4-2x^2-\dfrac{1}{2}$ như dưới
+ $y=m\bot Oy$
Vậy $m=\dfrac{-9}{2}$ hoặc $m>\dfrac{-1}{2}$
