Đáp án: `S_{min}=\frac{17}{2}⇔x=y=\frac{1}{2}`
Giải thích các bước giải:
Ta có: $(x-y)^2≥0∀x;y$
$⇒x^2-2xy+y^2≥0∀x;y$
$⇒4xy≤x^2+2xy+y^2=(x+y)^2≤1^2=1$
$⇒xy≤\dfrac{1}{4}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
`S=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}`
`≥2\sqrt{x^2.y^2}+2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}`
`=2xy+\frac{2}{xy}`
`=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}`
$≥2\sqrt{2xy.\dfrac{1}{8xy}}+\dfrac{15}{8.\dfrac{1}{4}}$
`=2\sqrt{\frac{1}{4}}+\frac{15}{2}`
`=1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}`
Dấu bằng xảy ra
$⇔\begin{cases}x=y\\x+y=1\\x^2=y^2\\\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{1}{y^2}\\2xy=\dfrac{1}{8xy}\\xy=\dfrac{1}{4}\end{cases}⇔x=y=\dfrac{1}{2}$
