Cho \(x,y \in \mathbb{R}\) và \(x \ne y.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 6xy + 6{y^2}}}{{{x^2} - 2xy + {y^2}}}\). A.\(\min P = - 1\) B.\(\min P = - 2\) C.\(\min P = - 3\) D.\(\min P = 1\)
Phương pháp giải: Xét \(y = 0\) Xét \(y e 0\), chia cả tử và mẫu cho \({y^2}.\) Sau đó ta chứng minh biểu thức thu được lớn hơn hoặc bằng \( - 3.\) Giải chi tiết:Xét \(y = 0,\) ta có : \(P = 1.\) Xét \(y e 0,\) chia cả tử và mẫu của (1) cho \({y^2},\) ta có : \(P = \frac{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 6\left( {\frac{x}{y}} \right) + 6}}{{{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 2\left( {\frac{x}{y}} \right) + 1}}\) Đặt \(t = \frac{x}{y}\,\,\,\left( {t e 1} \right).\) Biểu thức \(P\) trở thành : \(P = \frac{{{t^2} - 6t + 6}}{{{t^2} - 2t + 1}}\) Ta sẽ đi chứng minh : \(P \ge - 3\,\,\,\left( * \right)\) Ta có : \(\begin{array}{l}\frac{{{t^2} - 6t + 6}}{{{t^2} - 2t + 1}} \ge - 3\\ \Leftrightarrow {t^2} - 6t + 6 \ge - 3{t^2} + 6t - 3\\ \Leftrightarrow 4{t^2} - 12t + 9 \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2t - 3} \right)^2} \ge 0\end{array}\) \( \Rightarrow \left( * \right)\,\)luôn đúng. Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{x}{y} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow 2x = 3y.\) Vậy \(\min P = - 3,\) đạt được khi \(2x = 3y.\) Chọn C.