Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Lời giải:
Ta có \({{\log }_{3}}\frac{2x+y+1}{x+y}=x+2y\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)-{{\log }_{3}}\left( x+y \right)=3\left( x+y \right)-\left( 2x+y+1 \right)+1\)
\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2x+y+1 \right)+2x+y+1={{\log }_{3}}\left( 3\left( x+y \right) \right)+3\left( x+y \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right).\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{3}}t+t\) trên khoảng \(\left( 0;+\,\infty \right)\,\,\Rightarrow \,\,f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( 0;+\,\infty \right).\)
Mà \(\left( * \right)\Leftrightarrow f\left( 2x+y+1 \right)=f\left( 3x+3y \right)\Leftrightarrow 2x+y+1=3x+3y\Leftrightarrow x+2y=1.\)
Đặt \(a=\sqrt{y}>0\Leftrightarrow y={{a}^{2}}\Leftrightarrow x=1-2y=1-2{{a}^{2}}>0\Leftrightarrow 0
Khi đó \(T=g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}.\)
Xét hàm số \(g\left( a \right)=\frac{1}{1-2{{a}^{2}}}+\frac{2}{a}\) trên khoảng \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right),\) có \({g}'\left( a \right)=-\frac{2\left( 2a-1 \right)\left( 2{{a}^{3}}-2a-1 \right)}{{{a}^{2}}{{\left( 2{{a}^{2}}-1 \right)}^{2}}}.\)
Xét \(h\left( a \right)=2{{a}^{3}}-2a-1\) trên \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) có
\(h'\left( a \right)=6{{a}^{2}}-2=2\left( 3{{a}^{2}}-1 \right)=0\Leftrightarrow a=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow h'\left( a \right)<0,\forall a\in \left( -\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{1}{\sqrt{3}} \right)\supset \left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\)
Do đó \(h\left( a \right)\) nghịch biến trên \(\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)\) \(\Rightarrow h\left( a \right)
Phương trình \({g}'\left( a \right)=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}.\) Tính các giá trị \(g\left( \frac{1}{2} \right)=6;\,\,\underset{a\,\to \,0}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty ;\,\,\underset{a\,\to \,\frac{1}{\sqrt{2}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( a \right)=+\,\infty \)
Suy ra \(\underset{\left( 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( a \right)=g\left( \frac{1}{2} \right)=6.\) Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \({{T}_{\min }}=6.\)
Chọn D
