Đáp án:
$GTNN_P=\sqrt{17}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$.
Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`1/x+1/y>=2/(\sqrt{xy})`
`=>P>=2\sqrt{(1+x^2y^2)/(xy)}`
`<=>P>=2\sqrt{xy+1/(xy)}`
`<=>P>=2\sqrt{xy+1/(16xy)+15/(16xy)}`
Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có:
`xy+1/(16xy)>=2\sqrt{1/16}=1/2`
Mặt khác:`xy<=(x+y)^2/4(cosi)<=1/4`
`<=>4xy<=1`
`<=>16xy<=4`
`<=>15/(16xy)>=15/4`
`<=>P>=2\sqrt{1/2+15/4}=2\sqrt{17/4}=\sqrt{17}`
Dấu "=" xảy ra khi:$\begin{cases}xy=\dfrac{1}{16xy}\\\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x+y=1\\\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$
