Cho x, y là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \(P=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\sqrt{2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}.\) A.\(\frac{5}{2}.\) B.\(\frac{3}{2}.\) C.\(\frac{9}{2}.\) D.\(\frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:Ta áp dụng các bất đẳng thức Cô Si quen thuộc sau: \({{(x+y)}^{2}}\le 2({{x}^{2}}+{{y}^{2}}).\) Do đó: \(\begin{align} & P=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)\sqrt{2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})} \\ & \ge \frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\left( \frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right)(x+y)=\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}+2 \\ & \ge \frac{4xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy}+2-\frac{3xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \\ & \ge 2\sqrt{4}+2-\frac{3({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}{2({{x}^{2}}+{{y}^{2}})}=6-\frac{3}{2}=\frac{9}{2}. \\ \end{align}\) Dấu = xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2xy \\ & \frac{4xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{xy} \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow x=y.\) Vậy giá trị nhỏ nhất của P là \(\frac{9}{2}.\) Đạt tại chẳng hạn x = y = 1. Chọn C