Cho `∀ x,y ∈ RR`. CMR:
`a) x^2 + {y^2} /4 ≥ xy`
Chứng minh:
Ta có HĐT: `(x-y/2)^2\ge0`
`⇔x^2- 2.x.y/2+ (y/2)^2 \ge0`
`⇔x^2- xy+ y^2/4 \ge0`
`⇔x^2+ y^2/4 \gexy`
Dấu ''='' xảy ra khi `(x-y/2)^2=0⇔x=y/2⇔2x=y.`
Vậy `x^2 + {y^2} /4 ≥ xy`. Dấu ''='' xảy ra khi `2x=y.`
`b)`Giả sử `dpcm` xảy ra, tức `x^2+ y^2 + 1 ≥ x + y + xy`
`⇔2(x^2+ y^2 + 1 )≥ 2(x + y + xy)`
`⇔2x^2+2y^2+2 -2x-2y-2xy≥0`
`⇔(x^2-2x+1)+(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2y+1)≥0`
`⇔(x-1)^2+(x-y)^2+(y-1)^2≥0` (luôn đúng)
Dấu ''='' xảy ra khi `x=y=1.`
Vậy `x^2+ y^2 + 1 ≥ x + y + xy.` Dấu ''='' xảy ra khi `x=y=1.`
`c)x^4 + y^4 ≥ x^3+y^3`
Điều này luôn đúng với mọi số thực dương.
Còn số thực dương thì lại luôn đúng. (xảy ra trường hợp `>`)
Dấu ''='' xảy ra khi `x,y>0.`
Vậy `x^4 + y^4 ≥ x^3+y^3.` Dấu ''='' xảy ra khi `x,y>0.`
