Giải thích các bước giải:
$M = x + y + \dfrac{3}{4x} + \dfrac{3}{4y}$
$= x + \dfrac{\dfrac{16}{9}}{4x} + \dfrac{\dfrac{11}{9}}{4x} + y + \dfrac{\dfrac{16}{9}}{4y} + \dfrac{\dfrac{11}{9}}{4y}$
$= \left ( x + \dfrac{\dfrac{16}{9}}{4x} \right ) + \left ( y + \dfrac{\dfrac{16}{9}}{4y} \right ) + \dfrac{\dfrac{11}{9}}{4x} + \dfrac{\dfrac{11}{9}}{4y}$
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có:
$M \geq 2\sqrt{\dfrac{16}{36}} + 2\sqrt{\dfrac{16}{36}} + \dfrac{11}{36}\left ( \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \right )$
Áp dụng bất đẳng thức $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}$ ta có:
$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} \geq \dfrac{4}{x + y} \geq \dfrac{4}{\dfrac{4}{3}}$
$\to S \geq \dfrac{8}{3} + \dfrac{11}{12} = \dfrac{43}{12}$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \dfrac{2}{3}$
Vậy $Smin = \dfrac{43}{12}$ khi $x = y = \dfrac{2}{3}$
