Đề bài: Giải phương trình $ x \in \mathbb{I}$ biết: `x^3-7x^2+3x+6=0 (1)`
Bước 1: Ta đặt `x=y-(-7)/3=y+7/3`. Thế vào phương trình (1):
`=>(y+7/3)^3 - 7(y+7/3)^2 +3(y+7/3)+6=0`
`<=>` $y^3+7y^2+\dfrac{49y}{3}+\dfrac{343}{27}-7\left(y+\dfrac{7}{3}\right)^2+3\left(y+\dfrac{7}{3}\right)+6=0$
`<=>`$y^3+7y^2+\dfrac{49y}{3}+\dfrac{343}{27}-7\left(x^2+\dfrac{14y}{3}+\dfrac{49}{9}\right)+3\left(y+\dfrac{7}{3}\right)+6=0$
`<=>` $y^3+7y^2+\dfrac{49y}{3}+\dfrac{343}{27}-7y^2-\dfrac{98y}{3}-\dfrac{343}{9}+3\left(y+\dfrac{7}{3}\right)+6=0$
`<=>` $y^3+7y^2+\dfrac{49y}{3}+\dfrac{343}{27}-7y^2-\dfrac{98y}{3}-\dfrac{343}{9}+3y+7+6=0$
`<=>`$-\dfrac{335}{27}+\dfrac{3y^3-40y}{3}=0$
`<=>y^3 -40/3 y -335/27 =0 (2)`. Trong đó thỏa mãn điều kiện của Cardano đó là `-40/3=3-(-7)^2/3` và `-335/27=6+(2(-7)^3-9(-7)(3))/(27)`
Hiển nhiên rằng: `-335/27;-40/3 ne 0` vì nếu `-335/27=0` hoặc `-40/3=0` thì về trường hợp đơn giản.
Tiếp tục đặt ẩn `y=u+v -> (2)` ta được:
`(u+v)^3 -40/3 (u+v) -335/27=0<=>u^3+v^3+(3uv-40/3)(u+v)-335/27=0(3)`
Ta chọn `u,v` sao cho `3uv-40/3=0(4)<=>uv=40/3 ÷3=40/9<=>(uv)^3=64000/729`
Khi đó `(3)` trở thành: `u^3+v^3-335/27=0`
Như vậy, để tìm `u` và `v`. Từ (3) và (4) ta có hệ phương trình:
$\begin{cases}u^3+v^3=0\\u^3 \times v^3=\dfrac{64000}{729}\end{cases}$
(Em đang mắc chỗ này đây ạ) Đương nhiên từ dưới trở đi sẽ sai toàn bộ ạ
Theo định lý Vi-ét đảo thì, `u^3;v^3` là hai nghiệm của phương trình `A^2-(u^3+v^3)+(uv)^3=0<=>A^2+ 64000/729=0<=>`\(\left[ \begin{array}{l}A=i\dfrac{80\sqrt{10}}{27}\\A=-i\dfrac{80\sqrt{10}}{27}\end{array} \right.\)
Hay khi đó: $\begin{cases}u^3=i\dfrac{80\sqrt{10}}{27}\\v^3=-i\dfrac{80\sqrt{10}}{27}\end{cases}$ `<=>` $\begin{cases}u=-i\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\\v=+i \dfrac{2\sqrt{10}}{3} \end{cases}$
Đoạn này hai nghiệm "phải thỏa mãn" $\bigg(-i\dfrac{2\sqrt{10}}{3} \bigg)\times \bigg(i\dfrac{2\sqrt{10}}{3} \bigg)=\dfrac{40}{9} = - \dfrac{\dfrac{-40}{3}}{3}\to$ Đúng
Bước 2: Đặt `Delta = ` $\cfrac{\:\left(\cfrac{-335}{27}\right)^2}{4\:}+\cfrac{\left(\cfrac{-40}{3}\right)^3}{27}=\dfrac{ -1775}{36} <0$
Khi đó (5) sẽ có nghiệm phức và ba nghiệm đó chắc chắn phân biệt.
- Bước đặt $\Delta$ chỉ là bước nền để nhận ra có ba nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt thỏa mãn:
`=>`\(\left[ \begin{array}{l}y_1 = u_0 + v_0 =0\\y_2=\dfrac{-1}{2}(u_0+v_0)+ i \dfrac{\sqrt{3}}{2} (u_0-v_0)=\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\\y_3=\dfrac{-1}{2}(u_0+v_0)- i \dfrac{\sqrt{3}}{2} (u_0-v_0)=-\dfrac{2\sqrt{30}}{3}\end{array} \right.\)
Thay vào giả thiết ta đặt `x=y+7/3 =>:`
\(\left[ \begin{array}{l}x_1=y_1+\dfrac{7}{3}=\dfrac{7}{3}\\\\x=-1\end{array} \right.\)
