Đáp án: $D. P_{max} = 2 \sqrt[]{3}$ khi $ x = y = z = \frac{π}{6}$
Giải thích các bước giải:
$x + y + z = \frac{π}{2} ⇔ x + y = \frac{π}{2} - z $
$ ⇔ tan(x + y) = tan(\frac{π}{2} - z) ⇔ \frac{tanx + tany}{1 - tanxtany} = cotz = \frac{1}{tanz}$
$ ⇔ tanztanx + tanytanz = 1 - tanxtany $
$ ⇔ tanxtany + tanytanz + tanztanx = 1$
Áp dụng $BĐT$ Bunnhiacopsky:
$ ad + be + cf ≤ \sqrt[]{a² + b² + c²}.\sqrt[]{d² + e² + f²}$
$ P = \sqrt[]{1 + tanxtany} + \sqrt[]{1 + tanytanz} + \sqrt[]{1 + tanztanx}$
$ = 1.\sqrt[]{1 + tanxtany} + 1.\sqrt[]{1 + tanytanz} + 1.\sqrt[]{1 + tanztanx}$
$ ≤ \sqrt[]{1² + 1² + 1²}.\sqrt[]{( 1 + tanxtany) + (1 + tanytanz) + (1 + tanztanx)}$
$ = \sqrt[]{3} \sqrt[]{3 + (tanxtany + tanytanz + tanztanx)} = \sqrt[]{3} \sqrt[]{3 + 1} = 2 \sqrt[]{3}$
$ ⇒ P_{max} = 2 \sqrt[]{3}$ khi $ x = y = z = \frac{π}{6}$
