$x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$
$⇔ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{x + y + z}{3}$ ( vì $x + y + z = 1$)
$⇔ x^2 + y^2 + x^2 - \frac{x + y + z}{3} ≥ 0$
$⇔ 3x^2 + 3y^2 + 3z^2 - x - y - z ≥ 0$
$⇔ x(3x - 1) + y(3y - 1) + z(3z - 1) ≥ 0$
$⇔ x(3x - x - y - z) + y(3y - x - y - z) + z(3z - x - y - z) ≥ 0$
$⇔ x(2x - y - z) + y(2y - x -z) + z(2z - x - y) ≥ 0$
$⇔ 2x^2 - xy - xz + 2y^2 - xy - yz + 2z^2 - xz - yz ≥ 0$
$⇔ (x^2 - 2xy - y^2) + (y^2 - 2yz - z^2) + (x^2 - 2xz - z^2) ≥ 0$
$⇔ (x - y)^2 + (y - z)^2 - (x - z)^2 ≥ 0$ (đúng)
$⇒ x^2 + y^2 + x^2 ≥ \frac{1}{3}$
Dấu "=" xảy ra $⇔ x = y = z =\frac{1}{3}$
Bạn nói đơn giản nên mình dùng biến đổi tương đương chứ làm Bunhia nó ngắn hơn nhiều :))
