Đáp án:
chứng minh
Giải thích các bước giải:
Bài 1 :
A = $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$
⇔ A² = ( $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ )²
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopski :
A² = ( $\sqrt[]{4x+1}$ + $\sqrt[]{4y+1}$ + $\sqrt[]{4z+1}$ )² ≤ ( 1 + 1 + 1 )×( 4x + 1 + 4y + 1 + 4z + 1 )
⇔ A² ≤ 3×[ 4×( x + y + z ) + 3 ]
⇔ A² ≤ 21
⇒ A ≤ $\sqrt[]{21}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ $\sqrt[]{4x+1}$ = $\sqrt[]{4y+1}$ = $\sqrt[]{4z+1}$
⇔ x = y = z = $\frac{1}{3}$ ( do x + y + z = 1 )
Bài 2
B = $\frac{a²}{a+1}$ + $\frac{b²}{b+1}$ + $\frac{c²}{c+1}$
Ta đi chứng minh : $\frac{a²}{a+1}$ ≥ $\frac{3a-1}{4}$ ( a > 0 )
⇔ 4a² ≥ ( 3a - 1 )×( a + 1 )
⇔ 4a² ≥ 3a² + 2a - 1
⇔ a² - 2a + 1 ≥ 0
⇔ ( a - 1 )² ≥ 0 luôn đúng với ∀ a > 0
Chứng minh tương tự $\frac{b²}{b+1}$ ≥ $\frac{3b-1}{4}$
$\frac{c²}{c+1}$ ≥ $\frac{3c-1}{4}$
⇒ B ≥ $\frac{3×(a+b+c)-3}{4}$
⇔ B ≥ $\frac{3}{2}$
Dấu "=" xảy ra ⇔ a = b = c = 1
