Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$0<x,y,z\le 1$
$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge 82$
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 2 số dương ${{x}^{2}}$ và $\frac{1}{81{{x}^{2}}}$, ta được:
${{x}^{2}}+\frac{1}{81{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{1}{81{{x}^{2}}}}$
$\to {{x}^{2}}+\frac{1}{81{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{81}}$
$\to {{x}^{2}}+\frac{1}{81{{x}^{2}}}\ge \frac{2}{9}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi và chỉ khi ${{x}^{2}}=\frac{1}{81{{x}^{2}}}\to x=\frac{1}{3}$
$\to {{x}^{2}}+\frac{1}{81{{x}^{2}}}+\frac{80}{81{{x}^{2}}}\ge \frac{2}{9}+\frac{80}{81{{x}^{2}}}$
$\to {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\ge \frac{2}{9}+\frac{80}{81.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2}}}$
$\to {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\ge \frac{82}{9}$
$\to \sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}\ge \frac{\sqrt{82}}{3}$
Chứng minh tương tự, ta được
$\begin{cases}\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{\sqrt{82}}{3}\\\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{\sqrt{82}}{3}\end{cases}$
Cộng vế theo vế, ta được:
$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge \frac{\sqrt{82}}{3}+\frac{\sqrt{82}}{3}+\frac{\sqrt{82}}{3}=\sqrt{82}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{3}$
