Đáp án:$GTLN$ của $P = \dfrac{2019}{4} ⇔ x = y = z = \dfrac{3}{2019}$
Giải thích các bước giải:
Với mọi $a, b > 0$ ta có:
$ 0 ≤ (a - b)² ⇔ 0 ≤ a² - 2ab + b² $
$ ⇔ 4ab ≤ a² + 2ab + b² ⇒ 4ab ≤ (a + b)² $
$ ⇔ \dfrac{1}{a + b} ≤ \dfrac{a + b}{4ab} ⇔ \dfrac{1}{a + b} ≤ \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b})$
Dấu $'=' ⇔ a = b$
Do đó :
$ \dfrac{1}{2x + y + z} ≤ \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{y + z}) ≤ \dfrac{1}{4}[\dfrac{1}{2x} + \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z})]$
Dấu $'=' ⇔ 2x = y + z; y = z$
$ \dfrac{1}{x + 2y + z} ≤ \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{z + x}) ≤ \dfrac{1}{4}[\dfrac{1}{2y} + \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{z} + \dfrac{1}{x})]$
Dấu $'=' ⇔ 2y = z + x; z = x$
$ \dfrac{1}{x + y + 2z} ≤ \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{x + y}) ≤ \dfrac{1}{4}[\dfrac{1}{2z} + \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})]$
Dấu $'=' ⇔ 2z = x + y; x = y$
$ ⇒ \dfrac{1}{2x + y + z} + \dfrac{1}{x + 2y + z} + \dfrac{1}{x + y + 2z} $
$ ≤ \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}) = \dfrac{2019}{4} $
Vậy $GTLN$ của $P = \dfrac{2019}{4} ⇔ x = y = z = \dfrac{3}{2019}$
