Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}}

thuytien2412

2 năm trước

Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)
A.
B.
C.
D.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 31 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

nguyenhungthien

Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Cho \(x,\,\,y,\,\,z\) là các số thực dương thỏa mãn \(xy + yz + zx = 1.\) Chứng minh rằng:\(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} \ge \frac{2}{3}{\left( {\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }}} \right)^3}.\)

Ta có: \(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {xy + yz + zx + {x^2}} }} = \frac{x}{{\sqrt {x\left( {x + y} \right) + z\left( {x + y} \right)} }} = \frac{x}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} }}{{\sqrt {\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)} }}\)
Tương tự ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} = \frac{{y\sqrt {x + z} }}{{\sqrt {\left( {y + z} \right)\left( {y + x} \right)\left( {x + z} \right)} }}\\\frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {z + x} \right)\left( {z + y} \right)\left( {y + x} \right)} }}\end{array} \right..\)
Cộng vế với vế của 3 biểu thức trên ta được:
\(\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 + {y^2}} }} + \frac{z}{{\sqrt {1 + {z^2}} }} = \frac{{x\sqrt {y + z} + y\sqrt {x + z} + z\sqrt {y + x} }}{{\sqrt {\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right) + \left( {zx} \right)} }}\)
Lại có: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} = \frac{1}{{xy + yz + zx}} = \frac{1}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)}} = \frac{{z + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)}}\)
Tương tự ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{1 + {y^2}}} = \frac{{x + z}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\\\frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{x + y}}{{\left( {x + z} \right)\left( {z + y} \right)\left( {x + y} \right)}}\end{array} \right.\)
Cộng vế với vế của các biểu thức trên ta được: \(\frac{1}{{1 + {x^2}}} + \frac{1}{{1 + {y^2}}} + \frac{1}{{1 + {z^2}}} = \frac{{2\left( {x + y + z} \right)}}{{\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: \(\begin{array}{l}x\sqrt {y + z} \le x\sqrt {2yz} \\ + y\sqrt {z + x} + z\sqrt {x + y} \le \end{array}\)

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho M là tập hợp tất cả 4039 số nguyên liên tiếp từ -2019 đến 2019. Chứng minh rằng trong 2021 số đôi một phân biệt được chọn bất kì từ tập M luôn tồn tại 3 số đôi một phân biệt có tổng bằng 0.
A.
B.
C.
D.

Ở một khu du lịch, du khách thăm quan có thể lựa chọn việc hành hương đi bộ từ trạm soát vé A đến điểm tham quan B hoặc mua vé đi xe điện. Một chiếc xe điện bắt đầu khởi hành lúc 7h sáng, liên tục đưa khách từ A đến B đều là t0 = 1 phút. Trên đường chạy qua lại giữa A và B xe điện gặp một nhóm du khách bộ hành. Vị trí gặp nhóm du khách này lần thứ nhất, thứ hai, thứ ba và thứ tư tương ứng cách A những đoạn đường dài: x1 = 300m; x2 = 850m; x3 = 1350m và x4 = 1550m. Coi tốc độ chuyển động của xe điện lúc xe chạy và tốc độ đi bộ của nhóm du khách là không đổi, tương ứng bằng v và u.
a) Tìm v, u và quãng đường s từ A đến B
b) Hỏi trên đường đi từ A đến B thì nhóm bộ hành gặp xe điện trên bao nhiêu lần và họ đến B lúc mấy giờ?
A.
B.
C.
D.

Phòng tắm của Dũng có một vòi hoa sen với nhiều lỗ phun nước nhỏ. Tổng diện tích các lỗ phun nước là S = 10mm2 (thông số này đã được nhà sản suất ghi sẵn trên tờ thông tin kĩ thuật). Trước khi phun ra khỏi vòi tắm, nước được chảy qua một bộ phận đun nóng trực tiếp. Cho công suất tiêu thụ điện của bộ đun nóng nước này là P = 2,8kW; hiệu suất chuyển tải điện năng thành nhiệt năng cung cấp cho dòng nước phun ra là H = 96%; khối lượng riêng của nước là D = 1000kg/m3; nhiệt dung riêng của nước là c = 4200 J/(kg.K); nhiệt độ của nước trước khi đun là t1 = 200C; khi phun ra khỏi vòi nước có nhiệt độ là t2 = 360C.
a) Tính khối lượng của lượng nước đã được làm nóng theo cách như vậy trong khoảng thời gian đun là T = 15 phút.
b) Tính tốc độ của các tia nước phun ra từ vòi hoa sen
c) Vốn đam mê nghiên cứu, Dũng tiến hành kiểm tra lại xem tốc độ của các tia nước phun ra có đúng với tính toán nêu trên hay không. Dũng đã dùng một chậu đựng nước, một vỏ lon nước ngọt loại 330ml và một chiếc điện thoại có các cụ đơn giản như máy tính, đồng hồ đo thời gian,… Theo em, Dũng đã làm như thế nào? Hãy lập biểu thức tính tốc độ của các tia nước theo các đại lượng đo được.
A.
B.
C.
D.

Vật sáng AB là một đoạn thẳng nhỏ được đặt trước một thấu kính và vuông góc với trục chính của thấu kính đó. Nếu A nằm tại điểm M thì ảnh của A nằm tại vị trí P. Khi A nằm tại điểm N thì ảnh của A nằm tại vị trí Q. Biết P và Q nằm trên trục chính của thấu kính, các ảnh của AB trong hai trường hợp này đều cùng chiều với AB và có chiều cao tương ứng bằng ½ lần và ¼ lần AB.
a) Trên trang vở của một cựu học sinh chuyên Lí có một hình vẽ minh hoạ đồng thời thấu kính, các vị trí đặt vật, các ảnh và đường truyền của các tia sáng để thấy rõ sự tạo ảnh trong bài toán này. Do để lâu ngày nên các nét vẽ đều bị mờ hết, chỉ còn lại hai điểm P và Q được tô đậm. Với hiểu biết về đường truyền của các tia sáng qua thấu kính, em hãy trình bày cách vẽ để khôi phục lại trục chính, vị trí các tiêu điểm và quang tâm O của thấu kính, vị trí của các điểm M và N. Vẽ hình minh hoạ.
b) Hãy tính tiêu cự f của thấu kính. Cho khoảng cách giữa P và Q là 5cm.
A.
B.
C.
D.

Hằng năm, trường THPT Chuyên KHTN có tổ chức chương trình đón Tết Trung thu đặc sắc mang tên Đêm trăng Tự nhiên. Trong dịp này, một nhóm học sinh đã thiết kế một mạch điện trang trí cho trại của lớp mình. Các bạn này mắc nối tiếp các bóng đèn nhỏ giống nhau và quấn theo một khung để tạo hình một bông hoa như hình 1. Năm viền cánh hoa giống nhau được nối điện với vòng tròn tại các điểm A, B, C, D, E và chia vòng tròn thành năm cung, mỗi cung có n bóng đèn (với n là một số tự nhiên). Trên mỗi viền cánh hoa có các điểm M, N, P, Q, K chia các viền cánh hoa thành hai nửa, mỗi nửa có n bóng đèn. Điện trở tương đương của một đoạn dây có n bóng đèn mắc nối tiếp là r. Dùng một nguồn điện có hiệu điện thế U không đổi để thắp sáng bông hoa này.
a) Hai cực của nguồn được mắc vào các điểm A và C. Hãy tính theo r điện trở tương đương của mạch điện này.
b) Mắc hai cực của nguồn vào hai điểm A và Q. Tìm theo U hiệu điện thế giữa K và E
c) Mắc hai cực của nguồn vào hai điểm M và N. Tính tỉ số cường độ dòng điện qua bóng đèn sáng nhất và qua bóng đèn tối nhất
A.
B.
C.
D.

Xác định khởi ngữ
A.
B.
C.
D.

Chỉ ra hai phép liên kết và từ ngữ liên kết trong đoạn văn trên.
A.
B.
C.
D.

Theo tác giả, học sinh ngày nay muốn thành đạt cần chuẩn bị những hành trang gì?
A.
B.
C.
D.

“Biển học là mênh mông, trong đó sách vở tuy quan trọng nhưng cũng chỉ là vùng biển gần bờ mà thôi”, em có đồng tình với ý kiến trên hay không? Lý giải bằng 5-7 câu văn.
A.
B.
C.
D.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến