Đáp án+Giải thích các bước giải:
Áp dụng bất đẳng thức bunhia copski dạng phân thức cho ba số dương ta có:
`(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=(x+2+y+2+z+2)^2/(2(x+y+z))`
`<=>(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=(x+y+z+6)^2/(2(x+y+z))`
`<=>(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=((x+y+z)^2+2.6.(x+y+z)+36)/(2(x+y+z))`
`<=>(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=(x+y+z)/2+6+36/(2(x+y+z))`
Áp dụng bất đẳng thức cosi với hai số dương ta có:
`(x+y+z)/2+36/(2(x+y+z))>=2\sqrt{(x+y+z)/2*36/(2(x+y+z))}=2\sqrt{9}=6`
`<=>(x+y+z)/2+6+36/(2(x+y+z))>=6+6=12`
Mà `(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=(x+y+z)/2+6+36/(2(x+y+z))`
`=>(x+2)^2/(y+z)+(y+2)^2/(z+x)+(z+2)^2/(x+y)>=12(đpcm)`
Dấu "=" xảy ra khi \(\begin{cases}x=y=z\\\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{36}{2(x+y+z)}\\\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z\\(x+y+z)^2=9\\\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow \begin{cases}x=y=z\\x+y+z=3\\\end{cases}\)
`<=>x=y=z=1`.
