Đáp án + giải thích các bước giải:
VMO-1996
Cách 1:
Đặt `(x;y;z)=((2a)/(b+c);(2b)/(c+a);(2c)/(a+b))`
Ta cần chứng minh:
`(2a)/(b+c)+(2b)/(c+a)+(2c)/(a+b)>=(4ab)/((b+c)(c+a))+(4bc)/((c+a)(a+b))+(4ac)/((b+c)(a+b))`
`->a(a+b)(a+c)+b(b+a)(b+c)+c(c+a)(c+b)>=2ab(a+b)+2bc(b+c)+2ca(c+a)`
`->a^3+a^2b+a^2c+abc+b^3+b^2a+b^2c+abc+c^3+c^2a+c^2b+abc>=2a^2b+2ab^2+2b^2c+2bc^2+2c^2a+2ac^2`
`->a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2`
`->a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)`
Đây chính là bất đẳng thức Schur, vậy ta có điều phải chứng minh.
Cách 2:
`xy+yz+zx+xyz=4`
`->z(y+x+xy)=4-xy`
`->z=(4-xy)/(x+y+xy)`
Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số `x-1,y-1,z-1` luôn có hai số cùng dấu. Giả sử hai số đó là `x-1` và `y-1`
`->(x-1)(y-1)>=0`
`->z(x-1)(y-1)>=0`
`->(zx-z)(y-1)>=0`
`->xyz-zy-zx+z>=0`
`->z>=yz+zx-xyz`
`->x+y+z>=x+y+yz+zx-xyz`
Vậy ta cần chứng minh:
`x+y+yz+zx-xyz>=xy+yz+zx`
`->x+y>=xy+xyz`
`->x+y>=xy(1+z)`
`->x+y>=xy (1+(4-xy)/(x+y+xy))`
`->x+y>=xy (x+y+xy+4-xy)/(x+y+xy)`
`->(x+y)(x+y+xy)>=xy(x+y+4)`
`->x^2+xy+x^2y+xy+y^2+xy^2>=x^2y+xy^2+4xy`
`->x^2-2xy+y^2>=0`
`->(x-y)^2>=0` (luôn đúng)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Dấu bằng xảy ra khi `x=y=z=1` hoặc `(x;y;z)=(0;2;2)` và các hoán vị
