Giải thích các bước giải:
Áp dụng BĐT Bunhicopxki ta có :
$\bigg(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\bigg).(1^2+1^2+1^2)$
$≥\bigg(\dfrac{|x|}{|y|}.1+\dfrac{|y|}{|z|}.1+\dfrac{|z|}{|x|}.1\bigg)^2=\bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)^2$ $(1)$
Mặt khác theo BĐT Cauchy ta nhận thấy :
$\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|} ≥ 3$ $(2)$
Nên từ $(1)$ và $(2)$ suy ra :
$3.\bigg(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\bigg) ≥ \bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)^2 ≥ 3. \bigg(\dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|}\bigg)$
Hay : $\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2} ≥ \dfrac{|x|}{|y|}+\dfrac{|y|}{|z|}+\dfrac{|z|}{|x|} ≥ \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$
Vậy BĐT được hoàn tất !
